SERIES DE TAYLOR.: SERIE DE TAYLOR -DEFINICION

SERIE DE TAYLOR.

Brook Taylor(1685-1731).

Brook Taylor, gran matemático Británico, dio grandes contribuciones para el desarrollo del calculo por diferencias finitas, también es el gran autor del teorema que lleva su nombre.

Ningún trabajo de el, ha sobrevivido al tiempo, sin embargo se considera que el encontró un numero de casos especiales en la serie de Taylor, entre ellos están las funciones trigonométricas como: Seno,Coseno,Tangente, Cotangente.

DEFINICIÓN SERIE DE TAYLOR.

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función, La serie proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto, para hacer esta aproximación solo se pueden tomar unas cuantas expresiones a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir en la aproximación.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación genera y mientras mas operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que está buscando.

IMPORTANCIA SERIE DE TAYLOR.

La serie Taylor es de mucha importancia para el cálculo efectivo de las funciones continuas y donde se destaca el atender aspectos propios de convergencia, es por ello que la Serie de Taylor es un teorema de continuidad, teorema de dos valores medios y los criterios de convergencia de series numéricas. Considerada como una cierta matemática avanzada cuyo objetivo es profundizar en los procesos de convergencia de las series infinitas, acompañado de sus métodos algebraicos.

APLICACIONES DE LA SERIE DE TAYLOR.

La serie de Taylor tiene diversas aplicaciones entre ellas se tienen:

Aplicación en el teorema de L´Hopital
Uso de las series de Fourier en el procesamiento digital de señales
Uso de las series de Taylor y Maclaurin en la aproximación del valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Estimación de integrales
Determinación de convergencia y divergencia de series.

MATEMÁTICA BÁSICA DE LA SERIE DE TAYLOR.

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

Primeramente,vemos que es interesare y muy importante notar que los coeficientes a, pueden expresarse en términos del polinomio p(x) y de sus distintas derivadas que en este caso esta inicializada en 0.

$p(0)=a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+\cdots+a_N(0)^N\Rightarrow p(0)=a_0$

Se tiene el polinomio:

$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_Nx^N$

Un polinomio de grado n, al derivarlo se obtiene:

$p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+Na_Nx^{N-1}$

Por lo tanto se tiene:

$p'(0)=a_1$

Al derivar una vez mas se tiene.

$p''(x)=2a_2+3^.2a_3x+\cdots+N(N-1)a_nx^{N-2}$

$p''(0)=2a_2$

Generalizado el polinomio se tiene:

$p^{k}(0)=k!a_k$

$a_k=\cfrac{p^k(0)}{k!}$

La función Buscada quedaria de la siguiente forma:

$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(N)}(a)}{N!}(x-a)^N$

Y la formula de la sumatoria seria: